Soit ( A in mathcal{M}_2(mathbb{R}) ) telle que ( A^2 = I_2 ). Nous allons montrer que ( A ) est diagonalisable.
Utiliser le polynôme minimal
Le polynôme ( P(X) = X^2 – 1 = (X – 1)(X + 1) ) annule ( A ), car ( A^2 – I = 0 ).
Le polynôme minimal ( mu_A(X) ) de ( A ) divise donc ( P(X) ).
Or ( P ) est scindé à racines simples dans ( mathbb{R} ) : ses racines sont ( 1 ) et ( -1 ).
Tout diviseur de ( P ) est également scindé à racines simples. Par conséquent, ( mu_A ) est scindé à racines simples.
Un théorème fondamental d’algèbre linéaire affirme :
Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.
Donc ( A ) est diagonalisable.
Preuve directe par décomposition en sous-espaces propres
On peut aussi le montrer explicitement. Pour tout vecteur ( x ), posons :
[
x+ = frac{x + Ax}{2}, qquad x– = frac{x – Ax}{2}.
]
Calculons :
[
A x+ = frac{Ax + A^2x}{2} = frac{Ax + x}{2} = x+,
]
donc ( x_+ in ker(A – I) ), le sous-espace propre associé à la valeur propre ( 1 ).
De même,
[
A x– = frac{Ax – A^2x}{2} = frac{Ax – x}{2} = -x-,
]
donc ( x_- in ker(A + I) ), le sous-espace propre associé à la valeur propre ( -1 ).
Enfin :
[
x = x+ + x-.
]
Ainsi, tout vecteur se décompose comme somme d’un vecteur de ( ker(A – I) ) et d’un vecteur de ( ker(A + I) ). Par ailleurs, ces deux sous-espaces sont en somme directe, car leur intersection est réduite à ( {0} ).
On en déduit :
[
mathbb{R}^2 = ker(A – I) oplus ker(A + I).
]
La matrice ( A ) admet donc une base de vecteurs propres, ce qui prouve qu’elle est diagonalisable.
Conclusion
Toute matrice ( A ) vérifiant ( A^2 = I ) est diagonalisable. Ses valeurs propres sont uniquement ( 1 ) et ( -1 ), et elle est semblable à une matrice de la forme :
[
begin{pmatrix}
1 & 0
0 & -1
end{pmatrix},
quad
begin{pmatrix}
1 & 0
0 & 1
end{pmatrix},
quad
text{ou}
quad
begin{pmatrix}
-1 & 0
0 & -1
end{pmatrix}.
]
Ce résultat reste valable en dimension quelconque, pas seulement en dimension 2.
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