取 (a=frac14, b=1, c=4)，满足 (abc=1)，但左边为
(sqrt{frac14}+sqrt1+sqrt4=frac12+1+2=3.5)，
右边为
(frac14cdot1+1cdot4+4cdotfrac14=0.25+4+1=5.25)。
显然 (3.5<5.25)，所以题目中的“(ge)”并不成立。
正确的不等号方向应为 (le)，即：
若 (a,b,c>0, abc=1)，则
[
sqrt a+sqrt b+sqrt c le ab+bc+ca
]
下面给出证明。
令
[
x=sqrt a,quad y=sqrt b,quad z=sqrt c
]
则 (x,y,z>0)，且 (xyz=1)。
原不等式化为
[
x+y+z le x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2
]
因为 (xyz=1)，所以
[
x=(xy)(xz),quad y=(yz)(xy),quad z=(zx)(yz)
]
于是
[
x+y+z=xycdot xz+yzcdot xy+zxcdot yz
]
设
[
u=xy,quad v=yz,quad w=zx
]
则
[
x+y+z=uv+vw+wu
]
而
[
x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=u^2+v^2+w^2
]
因此只需证明
[
u^2+v^2+w^2ge uv+vw+wu
]
这是显然的,因为
[
u^2+v^2+w^2-uv-vw-wu
=frac12big[(u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2big]ge 0
]
所以
[
sqrt a+sqrt b+sqrt cle ab+bc+ca
]
成立，等号在 (u=v=w)，即 (a=b=c=1) 时取得。
原题若写为“(ge)”，则命题有误，应改为“(le)”才是正确的不等式。
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